一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题５分，满分６０分。
（１） Ｄ （２） Ｂ （３） Ｂ （４） Ｃ
（５） Ａ （６） Ｃ （７） Ｃ
（８） Ｂ （９） Ｃ （１０） Ｄ
（１１） Ｄ （１２） Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题４分，满分１６分。
（１３） １－ｉ （１４）－
（１５） （１６） ３
三、解答题
（１７）本小题考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分１２分。
解：记“机器甲需要照顾”为事件Ａ，“机器乙需要照顾”为事件Ｂ，“机器丙需要照顾”为事件Ｃ，由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，Ａ，Ｂ，Ｃ是相互独立事件。
（Ⅰ）由已知得Ｐ（Ａ·Ｂ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝０．０５，
Ｐ（Ａ·Ｃ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｃ）＝０．１，
Ｐ（Ｂ·Ｃ）＝Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ）＝０．１２５。
解得 Ｐ（Ａ）＝０．２，Ｐ（Ｂ）＝０．２５，Ｐ（Ｃ）＝０．５。
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为０．２，０．２５，０．５。
（Ⅱ）记Ａ的对立事件为Ａ，Ｂ的对立事件为Ｂ，
则 Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．７５，Ｐ（Ｃ）＝０．５，
于是 Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ·Ｂ·Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ）＝０．７。
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为０．７。
（１８） 本小题主要考查四棱锥的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分１２分。
方法一：
（Ⅰ）证明：
平面ＶＡＤ┴平面ＡＢＣＤ
ＡＢ┴ＡＤ ＡＢ┴平面ｖＡＤ
ＡＢ平面ＡＢＣＤ
ＡＤ＝平面ＶＡＤ∩平面ＡＢＣＤ
（Ⅱ）解：取ＶＤ的中心Ｅ，连结ＡＥ，ＢＥ．
∵ △ＶＡＤ是正三角形，
∴ ＡＥ┴ＶＤ，ＡＥ＝ＡＤ
∵ ＡＢ┴平面ＶＡＤ，
∴ ＡＢ┴ＡＥ．
又由三垂线定理知ＢＥ┴ＶＤ．
因此，∠ＡＥＢ是所求二面角的平面角．
于是 ｔａｎ∠ＡＥＢ＝＝，
即得所求二面角的大小为ａｒｃｔａｎ．
方法二：以Ｄ为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
（Ⅰ）证明：不妨设Ａ（１，０，０），则Ｂ（１，１，０），Ｖ（，０，），
＝（０，１，０），＝（，０，－）．
由·＝０，得ＡＢ┴ＶＡ
又ＡＢ┴ＡＤ因而ＡＢ与平面ＶＡＤ内两条相交直线ＶＡ，ＡＤ都垂直
∴ ＡＢ┴平面ＶＡＤ
（Ⅱ）解：设Ｅ为ＤＶ中点，则Ｅ（，０，），
＝，０，），＝（，１，－），＝（，０，）．
由·＝０，得ＥＢ⊥ＤＶ。又ＥＡ⊥ＤＶ，
因此，∠ＡＥＢ是所求二面角的平面角。
ｃｏｓ〈，〉＝＝，
解得所求二面角的大小为ａｒｃｃｏｓ．
（１９）本小题主要考查正、余弦定理和三角函数的基本公式等基础知识，考查基本运算能力。满分１２分。
解：（Ⅰ）由ｃｏｓＢ＝得ＳｉｎＢ＝＝
由ｂ２＝ａｃ及正弦定理得 ｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎ ＡｓｉｎＣ，
于是ｃｏｔＡ＋ｃｏｔＣ＝＋
＝＋
＝
＝
＝
＝
＝
（Ⅱ）由·＝得ｃɑ·ｃｏｓＢ＝，由ｃｏｓＢ＝，可得ｃɑ＝２，即ｂ２＝２．
由余弦定理ｂ２＝ɑ２＋ｃ２－２ɑｃ·ｃｏｓＢ得 ɑ２＋ｃ２＝ｂ２＋２ɑｃ·ｃｏｓＢ＝５
ɑ＋ｃ２＝ɑ２＋ｃ２＋２ɑｃ＝５＋４＝９
∴ ɑ＋ｃ＝３．
（２０）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分１２分。
解依题设得ɑｎ＝ɑ１＋ｎ－１ｄ，ɑ２２＝ɑ１ɑ４，
∴ （ɑ１＋ｄ２＝ɑ１ɑ１＋３ｄ，整理得ｄ２＝ɑ１ｄ，
∵ｄ≠０ ∴ｄ＝ａ１
ɑｎ＝ｎｄ
所以，由已知得
ｄ，３ｄ，ｋ１ｄ，ｋ２ｄ，…，ｋｎｄ，…
是等比数列。
由ｄ≠０，所以数列
１，３，ｋ１ｋ２…ｋｎ…
也是等比数列，首项为１，公比为ｑ＝＝３，由此得ｋ１＝９
等比数列ｋｎ的首项ｋ１＝９，公比ｑ＝３，所以ｋｎ＝９×ｑｎ－１＝３ｎ＋１ｎ＝１２３… 即得到数列ｋｎ的通项为ｋｎ＝３ｎ＋１
（２１）本小题主要考查直线和抛物线等基础知识，考查逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力。满分１４分。
解：（Ⅰ）Ｆ∈ｌ 〗ＦＡ〗＝〗ＦＢ〗Ａ、Ｂ两点到抛物线的准线的距离相等，
∵ 抛物线的准线是ｘ轴的平行线，ｙ１≥０，ｙ２≥０，依题意ｙ１，ｙ２不同时为０，
∴ 上述条件等价于ｙ１＝ｙ２ｘ１２＝ｘ２２（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＝０
∵ ｘ１≠ｘ２，
∴ 上述条件等价于ｘ１＋ｘ２＝０．
即当且仅当ｘ１＋ｘ２＝０时，ｌ经过抛物线的焦点Ｆ．
Ⅱ设ｌ在ｙ轴上的截距为ｂ，依题意得ｌ的方程为ｙ＝２ｘ＋ｂ；过点Ａ、Ｂ的直线方程可写为ｙ＝－ｘ＋ｍ，所以ｘ１，ｘ２满足方程
２ｘ２＋ｘ－ｍ＝０，
得 ｘ１＋ｘ２＝－；
Ａ，Ｂ为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式△＝＋８ｍ＞０，即ｍ＞－。
设ＡＢ的中点Ｎ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则
ｘ０＝（ｘ１＋ｘ２）＝－，ｙ０＝－ｘ０＋ｍ＝＋ｍ．
由Ｎ∈ｌ，得＋ｍ＝－＋ｂ，于是ｂ＝＋ｍ＞－＝．
即得ｌ在ｙ轴上截距的取值范围为（，＋∞）．
２２）本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式等基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力。满分１２分。
解（Ⅰ）对函数ｆ（ｘ）求导，得
ｆ＇（ｘ）＝
＝－．
令ｆ＇（ｘ）＝０解得ｘ＝或ｘ＝．
当ｘ变化时，ｆ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表：
所以，当ｘ∈（０，）时，ｆ（ｘ１）是减函数；当ｘ∈（，１）时，ｆ（ｘ）是增函数．
当ｘ∈０，１时，ｆ（ｘ）的值域为－４，－３．
（Ⅱ）对函数ｇ（ｘ）求导，得
ｇ′（ｘ）＝３（ｘ２－ａ２）．
因为ɑ≥１，当ｘ∈０，１）时，ｇ＇（ｘ＜３１－ａ２≤０．
因此当ｘ∈（０，１）时，ｇｘ为减函数。从而当ｘ∈０，１时有
ｇｘ∈ｇ１ｇ０．
又ｇ１＝１－２ａ－３ａ２，ｇ（０）＝－２ａ，即当ｘ∈０，１时有
ｇ（ｘ）∈１－２ａ－３ａ２，－２ａ．
任给ｘ１∈０，１，ｆ（ｘ１）∈－４，－３，
存在ｘ０∈０，１使得ｇ（ｘ０）＝ｆ（ｘ１），则１－２ａ－３ａ２，－２ａ－４，－３．
即 １－２ａ－３ａ２≤－４ ①
－２ａ≥－３ ②
解①式得ａ≥１或ａ≤－；
解②式得ａ≤．
又ａ≥１，故ａ的取值范围为１≤ａ≤。
